Determinante 
Vrsta: Seminarski | Broj strana: 7 | Nivo: Gimnazija

Determinanta je u matematici izraz predočen kvadratnom shemom u kojoj je poredano n2 članova u n redaka i n stupaca, i to je determinanta n-tog reda (tako postoje npr. determinante 2-og ili 3-eg reda).
a11 a21 D = ... ... an1
a12 a22 ... ...
... ... a1n ... ... a2 n ... ... ... ... ... ...
an 2 ... ... ann
Determinante je prvi otkrio i proučavao G. W. Leibniz 1693. godine ispitujući rješenja sistema linearnih jednadžbi. No kasnije se za otkrivača determinanti smatra G. Cramer koji je 1750. godine dao pravila rješavanja jednadžbi pomoću determinanata, a u meñuvremenu je Leibnizovo otkriće palo u zaborav. Determinante se široko primjenjuju u matematici tek nakon K. J. Jacobija. Naziv determinante uveo je u matematiku K. F. Gauss. Matrica je sustav od m·n brojeva složenih u pravokutnu shemu od m redova i n stupaca. Simbolički se matrica označava pomoću uglatih zagrada:
 a11 a  21 D =  ...   ...  am1 
a12 a22 ... ... am 2
... a1n  ... a2 n   ... ...   ... ...  ... ... amn   ... ... ... ...
Izračunavanje determinanti 1) Determinante 1.reda Bilo koji realni broj možemo shvatiti kao pripadnu determinantu 1. reda, odnosno imamo a = a, ∀a ∈ R . 2) Determinante 2.reda
D=
a11 a12 = a11 ⋅ a22 − a21 ⋅ a12 a21 a22
3) Determinante 3.reda - rješavamo na 2 načina: 3.1) Sarrusovim pravilom treba napisati determinantu i uz nju desno još dva prva stupca:
a11 a12 D = a21 a22 a31 a32
a13 a 11 a12 a23 a21 a22 = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 − (a31a22 a13 + a32 a23 a11 + a33 a21a12 ) a33 a31 a32
Sada po shemi tvorimo produkte po tri člana i to prvo u smjeru glavne dijagonale, a zatim produkte od takoñer po tri člana, no u smjeru suprotne dijagonale. Produkte uzete u smjeru glavne dijagonale zbrojimo i od toga oduzmemo zbroj produkata uzetih u smjeru sporede dijagonale. 3.2) razvojem po elementima nekog retka ili stupca svoñenjem na determinante drugog reda
a11 a12 D = a21 a22 a31 a32
a13 a a23 = a11 22 a32 a33
a23 a33
− a12
a22 a32
a23 a33
+ a13
a21 a22 a31 a32
po kojoj uzimamo predznake pojedinih elementa kada razvijemo determinantu. Ako želimo da razvijemo determinantu po npr. elementima prvog retka, tada prepišemo prvi element toga retka i precrtamo prvi redak i prvi stupac determinante, te prepisani prvi element množimo s preostalim dijelom determinante. Tako dobivena determinanta 2-og reda se zove subdeterminanta ili minora dotičnog elementa. Zatim prepišemo s protivnim predznakom (po shemi predznaka) drugi element prvog retka, pa kao i prije množimo taj element sa njegovom determinantom (koju dobijemo kad precrtamo prvi redak i drugi stupac zadane determinante). Naposlijetku prepišemo treći element prvog retka i pomnožimo ga sa njegovom subdeterminantom (koja se dobiva kad se precrta prvi redak i treći stupac u zadanoj determinanti). Sada možemo razviti subdeterminante na već prije objašnjeni način (vidi Determinante 2-og reda). Na analogni način se razvija determinanta 3-eg reda po elementima drugog i trećeg retka, odnosno bilo kojeg stupca. a11 a21 D = ... ... an1 a12 a22 ... ... ... ... a1n ... ... a2 n ... ... ... ... ... = a11M 11 − a12 M 12 + ... + (−1)1+ n a1n M 1n ...

---------- CEO RAD MOŽETE PREUZETI NA SAJTU. ---------- 

www.maturski.org 

 

MOŽETE NAS KONTAKTIRATI NA E-MAIL: [email protected]